English

Определение характеристик материалов при растяжении и сжатии
по результатам испытаний на четырехточечный изгиб

В.В. Куранов, А.В. Абрамов, С.Г. Ботов, А.Н. Хрулёв

Российский федеральный ядерный центр —
ВНИИ технической физики имени академика Е.И. Забабахина, г. Снежинск

Описан алгоритм построения кривых "напряжение — деформация" при растяжении и сжатии по результатам испытаний образцов при чистом изгибе, разработанный по методике Надаи. На основании полученных соотношений и испытаний образцов при четырехточечном изгибе определены физико–механические характеристики керамики YSZ при нормальной температуре.

Для расчетов прочности конструкций требуется знание реальных физико–механических характеристик материалов при различных видах напряженного состояния, причем как однородного (растяжение, сжатие), так и неоднородного (изгиб, кручение и т. д.). Многообразие характеристик зачастую требует проведения большого числа разнообразных экспериментов.

На основании уравнений [1] можно определить зависимость "напряжение — деформация" материала при растяжении и сжатии по результатам испытаний образцов на четырехточечный изгиб.

Элемент балки длиной dx был вырезан в зоне, в которой изгибающий момент не изменяет своего значения (рис. 1). Положение нейтральной оси по толщине h характеризуется координатами y1 и y2 от сжатой и растянутой сторон элемента dx.

Рис. 1. Элемент балки dx

При изгибе два смежных поперечных сечения x и x+dx балки будут иметь разный наклон. Линейный элемент балки, отстоящий на расстоянии y от нейтральной оси, получит при этом абсолютное удлинение Δdx, из которого определится и относительное:

.

Так как

, то , (1)

где ρобозначен радиус кривизны упругой нейтральной линии балки.

Равновесие сил, действующих на элемент балки длиной dx, выражается системой уравнений:

(2)

где F — площадь поперечного сечения элемента балки, находящегося на расстоянии y от нейтральной оси; σ — нормальное напряжение, действующее на этот элемент. Через М обозначен изгибающий момент, уравновешивающий эти внутренние напряжения. Площадь элемента dF в нашем случае выражается произведением dF = bdy (b — ширина образца). Если переменную y на основании формулы (1) выразить через деформацию e, то система (2) при s = f ( e) получат вид:

(3)

где (т. к. |y1| + |y2|=h), ε1>0, ε2>0.

При b = const из выражений (3) следует система уравнений:

(4)

Пределы ε1 и ε2 следует считать функциями от нагрузки Р, поэтому из соотношений (4) получаем

(5)

где а — плечо приложения силы.

Учитывая, что σ1=-f1), σ2=-f2), вводя обозначения из формулы (5) находим

, (6)

. (7)

Формулы (6) и (7) определяют зависимость между напряжениями и деформациями при чистом изгибе образца, то есть диаграммы деформирования материала при сжатии и растяжении соответственно с учетом нелинейности диаграмм деформирования и различного поведения материала при сжатии и растяжении.

Положение нейтральной оси определяется по следующей формуле:

. (8)

Кроме того, можно определить и дополнительную характеристику — прогиб нейтральной оси образца на базе пяти высот h:

Итак, для построения кривых "напряжение — деформация" при растяжении и сжатии по результатам испытаний образцов на чистый изгиб необходимо использовать формулы (6) и (7), но для этого по экспериментальным наборам точек P1), P2) необходимо получить функциональные зависимости P=f1) и P=f2) и с их помощью определить все необходимые параметры для нахождения по вышеуказанным формулам кривых σ11), σ22), положения нейтральной оси y1 и прогиба нейтральной оси образца на базе пяти высот f5.

С помощью предложенной методики были построены кривые "напряжение — деформация" при растяжении и сжатии по результатам испытаний четырех образцов из керамики YSZ на чистый изгиб. На рис. 2 показаны схема нагружения образцов и места крепления тензорезисторов (позиция 1).

Рис. 2. Схема нагружения образца при чистом изгибе:
a — плечо силы; b — толщина образца; h — высота образца

Нагрузка Р определяется с помощью штатного динамометра испытательной машины. Деформированное состояние образца исследуется с помощью тензорезисторов, наклеенных на верхней и нижней поверхностях образца.

При данной методике испытаний на чистый изгиб фиксируются деформации сжатия ε1 и растяжения ε2 крайних волокон образца, определяемые для ряда нагрузок P или, что одно и то же, для разных значений изгибающего момента Момент разрушения образца определяет крайнюю точку кривых σ11) и σ22). При этом значение предела прочности на изгиб материала связано с величиной разрушающего усилия Рраз образца, а значения деформаций сжатия εсж, раз и растяжения εр, раз фиксируются тензорезисторами. Для испытанных четырех образцов значения Рраз, εсж, раз и εр, раз приведены в табл. 1.

Зависимости ε1 = f (Р) и ε2 = f (Р) носят линейный характер во всем диапазоне изменения нагрузки Р вплоть до момента разрушения. Исходные экспериментально полученные зависимости P1), P2) были отсканированы, а затем оцифрованы с помощью программы оцифровки растровых изображений. С помощью программы IZGIB, реализующей преобразование Надаи (6) и (7), получены диаграммы напряжений для сжатия и растяжения, как для каждого образца, так и усредненные по четырем испытаниям (рис. 2, 3). Отмечены доверительные интервалы, определенные с вероятностью 0,99.

Таблица 1

Величины относительных деформаций растяжения и сжатия на момент разрушения образцов

№ образца Рраз, кгс εсж, раз × 106 εр, раз× 106
102 42,0 716,5 753,3
108 45,1 840 807
125 35,0 661 640
126 31,0 600 595

По этим диаграммам были проведены расчеты физико–механических характеристик, которые представлены в табл. 2 (для растяжения) и табл. 3 (для сжатия).

Таблица 2

Физико–механические характеристики YSZ на растяжение

№ образца Деформация прочности, e × 106 Предел прочности, кгс/мм2 Модуль упругости, кгс/мм2
102 753 12,0 15 800
108 807 13,5 16 600
125 640 10,0 15 800
126 595 9,0 15 000
Среднее значение 700 11,0 15 800

Таблица 3

Физико–механические характеристики YSZ на сжатие

№ образца Деформация прочности, ε × 106 Предел прочности, кгс/мм2 Модуль упругости, кгс/мм2
102 716 12,5 17 600
108 840 13,5 16 300
125 661 10,0 15 200
126 600 9,0 15 000
Среднее значение 700 11,0 16 000

Циркониевая керамика при испытаниях на чистый изгиб при нормальной температуре (Т = 20 °С) имеет линейные диаграммы деформирования растяжения и сжатия (рис. 3 и 4). При этом диаграмма растяжения практически совпадает с диаграммой сжатия. Различие в модулях упругости, предельных напряжениях и деформациях при растяжении и сжатии незначительное (см. табл. 2 и 3). Аналогичный линейный характер имеют диаграммы нагружения — зависимость "усилие — перемещение подвижного захвата нагружающей установки".

Рис. 3. Средняя диаграмма "напряжение — деформация" на растяжение для YSZ

Рис. 4. Средняя диаграмма "напряжение — деформация" на сжатие для YSZ

Расчетное положение нейтральной оси образцов в процессе нагружения определено по соотношению (8) (рис. 5). Положение нейтральной оси практически совпадает со срединной поверхностью образца (h1/h2 » 1) и не меняется в ходе всего нагружения вплоть до разрушения.

Рис. 5. Положение нейтральной оси образцов в процессе нагружения

Рис. 6. Зависимость прогиба образца от усилия

Полученные при помощи расчетов по программе RASGIB прогибы образцов f5 показаны на рис. 6. Из приведенных данных видно, что прогиб образцов из циркониевой керамики при нормальных условиях испытаний на чистый изгиб линейно зависит от приложенного момента.

Таким образом, в статье описана программная реализация преобразования Надаи, позволяющая для материалов с нелинейным характером деформирования построить диаграммы σ(ε) на растяжение и сжатие по результатам испытаний на четырехточечный изгиб. Методика проиллюстрирована на примере образцов из керамики YSZ, которая имеет линейный характер деформирования. В дальнейшем требуется проверка методики на материалах, имеющих нелинейные диаграммы σ(ε).

 

ССЫЛКА

  1. Hадаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. — М.: Изд–во иностранной литературы, 1954.

 

Работа финансирована Сандийскими национальными лабораториями, США, контракт AQ–3351.